Update 剑指 offer 题解.md

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@@ -2813,7 +2813,7 @@ public boolean isContinuous(int[] nums) {
 
 让小朋友们围成一个大圈。然后，随机指定一个数 m，让编号为 0 的小朋友开始报数。每次喊到 m-1 的那个小朋友要出列唱首歌，然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物，并且不再回到圈中，从他的下一个小朋友开始，继续 0...m-1 报数 .... 这样下去 .... 直到剩下最后一个小朋友，可以不用表演。
 
-## 解题思路
+## 解题思路1
 
 约瑟夫环，圆圈长度为 n 的解可以看成长度为 n-1 的解再加上报数的长度 m。因为是圆圈，所以最后需要对 n 取余。
 
@@ -2826,6 +2826,55 @@ public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
     return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
 }
 ```
+## 解题思路2
+创新的解法，采用数学公式推导找到规律，推导过程如下：
+
+Step1.
+首先定义一个关于 m 和 n 的函数：f(n, m)，表示在n个数字 0,1,2…,n-1 中每次删除第m个数字，最后剩下的那个数字。
+  注意：f(n, m)表示的是，在经过了多次删除后，最后剩下的那个数字，也就是说f(n,m)本质上是个数。
+
+Step2.
+n个数中，第一个被删除的数是(m - 1) % n，把它记为k，此时数组中还剩下0,1,2… k-1, k+1,…n-1 这几个数字。接下来从k+1开始计数，相当于在剩下的序列中，k+1排在最前面，从而形成k+1,… n-1,… 0,1,2…k-1。本题中，第一个被删除的是数字2，因此数组还剩下 0,1,3,4,5，相当于3,4,5,0,1。由于这个序列是不连续的，在2那个地方断开了，所以不能写为f(n-1, m)。在此记为g(n-1, m)。
+最初序列最后剩下的数字，一定是删除一个数字后剩下的数字，因此f(n, m) = g(n-1, m)
+
+Step3.
+将[3,4,5,0,1]重新映射为[0,1,2,3,4]，映射的公式是：p(x) = (x - k - 1) % n。其中k = 2，n = 6。
+  3 —-> 0
+  4 —-> 1
+  5 —-> 2
+  0 —-> 3
+  1 —-> 4
+映射以后的序列是0,1,2,3,4，是一个连续的序列，因此可以用f(n-1, m)来表示。
+此时的f(n-1, m)是不等于g(n-1, m)，因为二者对应的序列不同，存在一个映射关系。
+该映射的逆映射是 p’(x) = (x + k + 1) % n
+因此g(n-1, m) = p’[f(n-1, m)] = [f(n-1, m) + k + 1] % n
+即：f(n, m) = [f(n-1, m) + k + 1] % n
+带入k = (m - 1) % n, 得到f(n, m) = [f(n-1, m) +m] % n (n > 1)
+
+Step4.
+当n = 1时，只有一个人，此时剩余的数字为0
+
+综上，约瑟夫环的公式是：
+f(n, m) = 0           (n = 1)
+f(n, m) = [f(n-1, m) +m] % n  (n > 1)
+
+```java
+public class Solution {
+
+    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
+        // 不合法输入的判断
+        if(n == 0 || m < 1) {
+            return -1;
+        }        
+        int last = 0;
+        for(int i = 2; i <= n; i++) {
+            last = (last + m) % i;
+        }
+        return last;
+    }
+
+}
+```
 
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