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This commit is contained in:
CyC2018
@ -54,25 +54,39 @@
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## 二分查找
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```java
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public int search(int key, int[] array) {
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int l = 0, h = array.length - 1;
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public int binarySearch(int key, int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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if (key == array[mid]) return mid;
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if (key < array[mid]) h = mid - 1;
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if (key == nums[mid]) return mid;
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if (key < nums[mid]) h = mid - 1;
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else l = mid + 1;
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}
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return -1;
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}
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```
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实现时需要注意以下细节：
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**时间复杂度**
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- 在计算 mid 时不能使用 mid = (l + h) / 2 这种方式，因为 l + h 可能会导致加法溢出，应该使用 mid = l + (h - l) / 2。
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O(logN)
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- 对 h 的赋值和循环条件有关，当循环条件为 l <= h 时，h = mid - 1；当循环条件为 l < h 时，h = mid。解释如下：在循环条件为 l <= h 时，如果 h = mid，会出现循环无法退出的情况，例如 l = 1，h = 1，此时 mid 也等于 1，如果此时继续执行 h = mid，那么就会无限循环；在循环条件为 l < h，如果 h = mid - 1，会错误跳过查找的数，例如对于数组 [1,2,3]，要查找 1，最开始 l = 0，h = 2，mid = 1，判断 key < arr[mid] 执行 h = mid - 1 = 0，此时循环退出，直接把查找的数跳过了。
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**计算 mid**
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- l 的赋值一般都为 l = mid + 1。
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在计算 mid 时不能使用 mid = (l + h) / 2 这种方式，因为 l + h 可能会导致加法溢出，应该使用 mid = l + (h - l) / 2。
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**计算 h**
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当循环条件为 l <= h，则 h = mid - 1。因为如果 h = mid，会出现循环无法退出的情况，例如 l = 1，h = 1，此时 mid 也等于 1，如果此时继续执行 h = mid，那么就会无限循环。
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当循环条件为 l < h，则 h = mid。因为如果 h = mid - 1，会错误跳过查找的数，例如对于数组 [1,2,3]，要查找 1，最开始 l = 0，h = 2，mid = 1，判断 key < arr[mid] 执行 h = mid - 1 = 0，此时循环退出，直接把查找的数跳过了。
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**返回值**
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在循环条件为 l <= h 的情况下，循环退出时 l 总是比 h 大 1，并且 l 是将 key 插入 nums 中的正确位置。例如对于 nums = {0,1,2,3}，key = 4，循环退出时 l = 4，将 key 插入到 nums 中的第 4 个位置就能保持 nums 有序的特点。
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在循环条件为 l < h 的情况下，循环退出时 l 和 h 相等。
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如果只是想知道 key 存不存在，在循环退出之后可以直接返回 -1 表示 key 不存在于 nums 中。
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**求开方**
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@ -87,17 +101,19 @@ Output: 2
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Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated.
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```
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一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt 。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。
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一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。
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对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。
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```java
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public int mySqrt(int x) {
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if(x <= 1) return x;
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if (x <= 1) return x;
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int l = 1, h = x;
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while(l <= h){
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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int sqrt = x / mid;
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if(sqrt == mid) return mid;
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else if(sqrt < mid) h = mid - 1;
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if (sqrt == mid) return mid;
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if (sqrt < mid) h = mid - 1;
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else l = mid + 1;
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}
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return h;
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@ -120,23 +136,25 @@ Because the 4th row is incomplete, we return 3.
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题目描述：第 i 行摆 i 个，统计能够摆的行数。
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返回 h 而不是 l，因为摆的硬币最后一行不能算进去。
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n 个硬币能够摆的行数 row 在 0 \~ n 之间，并且满足 n == row * (row + 1) / 2，因此可以利用二分查找在 0 \~ n 之间查找 row。
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对于 n = 8，它能摆的行数 row = 3，这是因为最后没有摆满的那一行不能算进去，因此在循环退出时应该返回 h。
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```java
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public int arrangeCoins(int n) {
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int l = 0, h = n;
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while(l <= h){
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int m = l + (h - l) / 2;
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long x = m * (m + 1) / 2;
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if(x == n) return m;
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else if(x < n) l = m + 1;
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else h = m - 1;
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while (l <= h) {
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int mid = l + (h - l) / 2;
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long x = mid * (mid + 1) / 2;
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||||
if (x == n) return mid;
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||||
else if (x < n) l = mid + 1;
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else h = mid - 1;
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}
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return h;
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}
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```
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可以不用二分查找，更直观的解法如下：
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本题可以不用二分查找，更直观的解法如下：
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```java
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public int arrangeCoins(int n) {
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@ -149,6 +167,39 @@ public int arrangeCoins(int n) {
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}
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```
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**大于给定元素的最小元素**
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[Leetcode : 744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/)
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```html
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Input:
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letters = ["c", "f", "j"]
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target = "d"
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Output: "f"
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Input:
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letters = ["c", "f", "j"]
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target = "k"
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Output: "c"
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```
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题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符。letters 字符数组是循环数组。
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应该注意最后返回的是 l 位置的字符。
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```java
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public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) {
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int n = letters.length;
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int l = 0, h = n - 1;
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while (l <= h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (letters[m] <= target) l = m + 1;
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else h = m - 1;
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}
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return l < n ? letters[l] : letters[0];
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}
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```
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**有序数组的 Single Element**
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[Leetcode : 540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/)
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@ -158,21 +209,101 @@ Input: [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
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Output: 2
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题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。
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题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。
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令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。
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从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 m + 2 \~ n - 1，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 0 \~ m，此时令 h = m。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。
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```java
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public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length - 1;
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while(l < h) {
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if(m % 2 == 1) m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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if(nums[m] == nums[m + 1]) l = m + 2;
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if (m % 2 == 1) m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数
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if (nums[m] == nums[m + 1]) l = m + 2;
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else h = m;
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}
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return nums[l];
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}
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```
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**第一个错误的版本**
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[Leetcode : 278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/)
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题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。
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如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 1 \~ m 之前，令 h = m；否则第一个错误的版本在 m + 1 \~ n 之间，令 l = m + 1。
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因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。
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```java
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public int firstBadVersion(int n) {
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int l = 1, h = n;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (isBadVersion(m)) h = m;
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else l = m + 1;
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}
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return l;
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}
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```
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**旋转数组的最小数字**
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[Leetcode : 153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/)
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```html
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Input: [3,4,5,1,2],
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Output: 1
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```
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```java
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public int findMin(int[] nums) {
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int l = 0, h = nums.length;
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] <= nums[h]) h = m;
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else l = m + 1;
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}
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return nums[l];
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}
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```
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**查找区间**
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[Leetcode : 34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/)
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```html
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
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Output: [3,4]
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Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
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Output: [-1,-1]
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```java
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public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
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int first = binarySearch(nums, target);
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int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1;
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if (first == nums.length || nums[first] != target) return new int[]{-1, -1};
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return new int[]{first, Math.max(first, last)};
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}
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private int binarySearch(int[] nums, int target) {
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int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值
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while (l < h) {
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int m = l + (h - l) / 2;
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if (nums[m] >= target) h = m;
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else l = m + 1;
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}
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return l;
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}
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## 贪心思想
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贪心思想保证每次操作都是局部最优的，并且最后得到的结果是全局最优的。
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