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docs/notes/10.4 变态跳台阶.md

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+# 10.4 变态跳台阶
+
+[NowCoder](https://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162&tPage=1&rp=1&ru=/ta/coding-interviews&qru=/ta/coding-interviews/question-ranking&from=cyc_github)
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+## 题目描述
+
+一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级... 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
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+<img src="https://cs-notes-1256109796.cos.ap-guangzhou.myqcloud.com/cd411a94-3786-4c94-9e08-f28320e010d5.png" width="380px">
+
+## 解题思路
+
+### 动态规划
+
+```java
+public int JumpFloorII(int target) {
+    int[] dp = new int[target];
+    Arrays.fill(dp, 1);
+    for (int i = 1; i < target; i++)
+        for (int j = 0; j < i; j++)
+            dp[i] += dp[j];
+    return dp[target - 1];
+}
+```
+
+### 数学推导
+
+跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么
+
+```
+f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)
+```
+
+同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么
+
+```
+f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)
+```
+
+综上可得
+
+```
+f(n) - f(n-1) = f(n-1)
+```
+
+即
+
+```
+f(n) = 2*f(n-1)
+```
+
+所以 f(n) 是一个等比数列
+
+```source-java
+public int JumpFloorII(int target) {
+    return (int) Math.pow(2, target - 1);
+}
+```