diff --git a/notes/Leetcode 题解.md b/notes/Leetcode 题解.md index dedc443c..f180c090 100644 --- a/notes/Leetcode 题解.md +++ b/notes/Leetcode 题解.md @@ -1,6 +1,5 @@ * [算法思想](#算法思想) - * [二分查找](#二分查找) * [贪心思想](#贪心思想) * [双指针](#双指针) * [排序](#排序) @@ -12,6 +11,7 @@ * [BFS](#bfs) * [DFS](#dfs) * [Backtracking](#backtracking) + * [二分查找](#二分查找) * [分治](#分治) * [动态规划](#动态规划) * [斐波那契数列](#斐波那契数列) @@ -55,272 +55,6 @@ # 算法思想 -## 二分查找 - -**正常实现** - -```java -public int binarySearch(int[] nums, int key) { - int l = 0, h = nums.length - 1; - while (l <= h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (nums[m] == key) - return m; - else if (nums[m] > key) - h = m - 1; - else - l = m + 1; - } - return -1; -} -``` - -**时间复杂度** - -O(logN) - -**计算 mid** - -有两种计算 mid 的方式： - -- mid = (l + h) / 2 -- mid = l + (h - l) / 2 - -l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。 - -**返回值** - -循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值： - -- -1：以一个错误码指示没有查找到 key -- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置 - -**变种** - -二分查找可以有很多变种，变种实现要多注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下： - -```java -public int binarySearch(int[] nums, int key) { - int l = 0, h = nums.length - 1; - while (l < h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (nums[m] >= key) - h = m; - else - l = m + 1; - } - return l; -} -``` - -该实现和正常实现有以下不同： - -- 循环条件为 l < h -- h 的赋值表达式为 h = m -- 最后返回 l 而不是 -1 - -在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。 - -在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。 - -```text -nums = {0, 1}, key = 0 -l m h -0 1 2 nums[m] >= key -0 0 1 nums[m] >= key -0 0 0 nums[m] >= key -0 0 0 nums[m] >= key -... -``` - -当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。 - -**求开方** - -[69. Sqrt(x) (Easy)](https://leetcode.com/problems/sqrtx/description/) - -```html -Input: 4 -Output: 2 - -Input: 8 -Output: 2 -Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated. -``` - -一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。 - -对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。 - -```java -public int mySqrt(int x) { - if (x <= 1) - return x; - int l = 1, h = x; - while (l <= h) { - int mid = l + (h - l) / 2; - int sqrt = x / mid; - if (sqrt == mid) - return mid; - else if (sqrt < mid) - h = mid - 1; - else - l = mid + 1; - } - return h; -} -``` - -**大于给定元素的最小元素** - -[744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/) - -```html -Input: -letters = ["c", "f", "j"] -target = "d" -Output: "f" - -Input: -letters = ["c", "f", "j"] -target = "k" -Output: "c" -``` - -题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符。letters 字符数组是循环数组。 - -应该注意最后返回的是 l 位置的字符。 - -```java -public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) { - int n = letters.length; - int l = 0, h = n - 1; - while (l <= h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (letters[m] <= target) - l = m + 1; - else - h = m - 1; - } - return l < n ? letters[l] : letters[0]; -} -``` - -**有序数组的 Single Element** - -[540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/) - -```html -Input: [1,1,2,3,3,4,4,8,8] -Output: 2 -``` - -题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。 - -令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。 - -从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。 - -因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。 - -```java -public int singleNonDuplicate(int[] nums) { - int l = 0, h = nums.length - 1; - while (l < h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (m % 2 == 1) - m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数 - if (nums[m] == nums[m + 1]) - l = m + 2; - else - h = m; - } - return nums[l]; -} -``` - -**第一个错误的版本** - -[278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/) - -题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。 - -如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。 - -因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。 - -```java -public int firstBadVersion(int n) { - int l = 1, h = n; - while (l < h) { - int mid = l + (h - l) / 2; - if (isBadVersion(mid)) - h = mid; - else - l = mid + 1; - } - return l; -} -``` - -**旋转数组的最小数字** - -[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/) - -```html -Input: [3,4,5,1,2], -Output: 1 -``` - -```java -public int findMin(int[] nums) { - int l = 0, h = nums.length - 1; - while (l < h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (nums[m] <= nums[h]) - h = m; - else - l = m + 1; - } - return nums[l]; -} -``` - -**查找区间** - -[34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/) - -```html -Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 -Output: [3,4] - -Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 -Output: [-1,-1] -``` - -```java -public int[] searchRange(int[] nums, int target) { - int first = binarySearch(nums, target); - int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1; - if (first == nums.length || nums[first] != target) - return new int[]{-1, -1}; - else - return new int[]{first, Math.max(first, last)}; -} - -private int binarySearch(int[] nums, int target) { - int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值 - while (l < h) { - int m = l + (h - l) / 2; - if (nums[m] >= target) - h = m; - else - l = m + 1; - } - return l; -} -``` - ## 贪心思想 贪心思想保证每次操作都是局部最优的，并且最后得到的结果是全局最优的。 @@ -2263,6 +1997,274 @@ private void backtracking(int row) { } ``` +## 二分查找 + +（一）正常实现 + +```java +public int binarySearch(int[] nums, int key) { + int l = 0, h = nums.length - 1; + while (l <= h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (nums[m] == key) { + return m; + } else if (nums[m] > key) { + h = m - 1; + } else { + l = m + 1; + } + } + return -1; +} +``` + +（二）时间复杂度 + +O(logN) + +（三）m 计算 + +有两种计算 m 的方式： + +- m = (l + h) / 2 +- m = l + (h - l) / 2 + +l + h 可能出现加法溢出，最好使用第二种方式。 + +（四）返回值 + +循环退出时如果仍然没有查找到 key，那么表示查找失败。可以有两种返回值： + +- -1：以一个错误码表示没有查找到 key +- l：将 key 插入到 nums 中的正确位置 + +（五）变种 + +二分查找可以有很多变种，变种实现要注意边界值的判断。例如在一个有重复元素的数组中查找 key 的最左位置的实现如下： + +```java +public int binarySearch(int[] nums, int key) { + int l = 0, h = nums.length - 1; + while (l < h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (nums[m] >= key) { + h = m; + } else { + l = m + 1; + } + } + return l; +} +``` + +该实现和正常实现有以下不同： + +- 循环条件为 l < h +- h 的赋值表达式为 h = m +- 最后返回 l 而不是 -1 + +在 nums[m] >= key 的情况下，可以推导出最左 key 位于 [l, m] 区间中，这是一个闭区间。h 的赋值表达式为 h = m，因为 m 位置也可能是解。 + +在 h 的赋值表达式为 h = mid 的情况下，如果循环条件为 l <= h，那么会出现循环无法退出的情况，因此循环条件只能是 l < h。以下演示了循环条件为 l<=h 循环无法退出的情况。 + +```text +nums = {0, 1, 2}, key = 1 +l m h +0 1 2 nums[m] >= key +0 0 1 nums[m] < key +1 1 1 nums[m] >= key +1 1 1 nums[m] >= key +... +``` + +当循环体退出时，不表示没有查找到 key，因此最后返回的结果不应该为 -1。为了验证有没有查找到，需要在调用端判断一下返回位置上的值和 key 是否相等。 + +**求开方** + +[69. Sqrt(x) (Easy)](https://leetcode.com/problems/sqrtx/description/) + +```html +Input: 4 +Output: 2 + +Input: 8 +Output: 2 +Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since we want to return an integer, the decimal part will be truncated. +``` + +一个数 x 的开方 sqrt 一定在 0 \~ x 之间，并且满足 sqrt == x / sqrt。可以利用二分查找在 0 \~ x 之间查找 sqrt。 + +对于 x = 8，它的开方是 2.82842...，最后应该返回 2 而不是 3。在循环条件为 l <= h 并且循环退出时，h 总是比 l 小 1，也就是说 h = 2，l = 3，因此最后的返回值应该为 h 而不是 l。 + +```java +public int mySqrt(int x) { + if (x <= 1) + return x; + int l = 1, h = x; + while (l <= h) { + int mid = l + (h - l) / 2; + int sqrt = x / mid; + if (sqrt == mid) + return mid; + else if (sqrt < mid) + h = mid - 1; + else + l = mid + 1; + } + return h; +} +``` + +**大于给定元素的最小元素** + +[744. Find Smallest Letter Greater Than Target (Easy)](https://leetcode.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target/description/) + +```html +Input: +letters = ["c", "f", "j"] +target = "d" +Output: "f" + +Input: +letters = ["c", "f", "j"] +target = "k" +Output: "c" +``` + +题目描述：给定一个有序的字符数组 letters 和一个字符 target，要求找出 letters 中大于 target 的最小字符。letters 字符数组是循环数组。 + +应该注意最后返回的是 l 位置的字符。 + +```java +public char nextGreatestLetter(char[] letters, char target) { + int n = letters.length; + int l = 0, h = n - 1; + while (l <= h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (letters[m] <= target) + l = m + 1; + else + h = m - 1; + } + return l < n ? letters[l] : letters[0]; +} +``` + +**有序数组的 Single Element** + +[540. Single Element in a Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/single-element-in-a-sorted-array/description/) + +```html +Input: [1,1,2,3,3,4,4,8,8] +Output: 2 +``` + +题目描述：一个有序数组只有一个数不出现两次，找出这个数。要求以 O(logN) 时间复杂度进行求解。 + +令 key 为 Single Element 在数组中的位置。如果 m 为偶数，并且 m + 1 < key，那么 nums[m] == nums[m + 1]；m + 1 >= key，那么 nums[m] != nums[m + 1]。 + +从上面的规律可以知道，如果 nums[m] == nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [m + 2, h]，此时令 l = m + 2；如果 nums[m] != nums[m + 1]，那么 key 所在的数组位置为 [l, m]，此时令 h = m。 + +因为 h 的赋值表达式为 h = m，那么循环条件也就只能使用 l < h 这种形式。 + +```java +public int singleNonDuplicate(int[] nums) { + int l = 0, h = nums.length - 1; + while (l < h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (m % 2 == 1) + m--; // 保证 l/h/m 都在偶数位，使得查找区间大小一直都是奇数 + if (nums[m] == nums[m + 1]) + l = m + 2; + else + h = m; + } + return nums[l]; +} +``` + +**第一个错误的版本** + +[278. First Bad Version (Easy)](https://leetcode.com/problems/first-bad-version/description/) + +题目描述：给定一个元素 n 代表有 [1, 2, ..., n] 版本，可以调用 isBadVersion(int x) 知道某个版本是否错误，要求找到第一个错误的版本。 + +如果第 m 个版本出错，则表示第一个错误的版本在 [l, m] 之间，令 h = m；否则第一个错误的版本在 [m + 1, h] 之间，令 l = m + 1。 + +因为 h 的赋值表达式为 h = m，因此循环条件为 l < h。 + +```java +public int firstBadVersion(int n) { + int l = 1, h = n; + while (l < h) { + int mid = l + (h - l) / 2; + if (isBadVersion(mid)) + h = mid; + else + l = mid + 1; + } + return l; +} +``` + +**旋转数组的最小数字** + +[153. Find Minimum in Rotated Sorted Array (Medium)](https://leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/description/) + +```html +Input: [3,4,5,1,2], +Output: 1 +``` + +```java +public int findMin(int[] nums) { + int l = 0, h = nums.length - 1; + while (l < h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (nums[m] <= nums[h]) + h = m; + else + l = m + 1; + } + return nums[l]; +} +``` + +**查找区间** + +[34. Search for a Range (Medium)](https://leetcode.com/problems/search-for-a-range/description/) + +```html +Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 +Output: [3,4] + +Input: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 +Output: [-1,-1] +``` + +```java +public int[] searchRange(int[] nums, int target) { + int first = binarySearch(nums, target); + int last = binarySearch(nums, target + 1) - 1; + if (first == nums.length || nums[first] != target) + return new int[]{-1, -1}; + else + return new int[]{first, Math.max(first, last)}; +} + +private int binarySearch(int[] nums, int target) { + int l = 0, h = nums.length; // 注意 h 的初始值 + while (l < h) { + int m = l + (h - l) / 2; + if (nums[m] >= target) + h = m; + else + l = m + 1; + } + return l; +} +``` + ## 分治 **给表达式加括号**